Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
d/dt y(t) - 2 y(t) = t^2 e^(2t) y(t) = (t^3/3 + 5)e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente verificar se a função dada é uma solução da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, onde a gente precisa checar se uma função satisfaz a equação proposta. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de , substituir na equação e ver se tudo se equilibra direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é um produto de duas partes: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, seja:
Calculando :
Calculando :
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original:
Distribuindo o 2 na segunda parte:
Agora, subtraindo as expressões:

Passo 4

Observamos que a expressão resultante é exatamente , que é o lado direito da equação diferencial original. Portanto, a igualdade foi satisfeita.

Resposta

Sim, a função é solução da equação diferencial dada.

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