Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente verificar se a função dada
é uma solução da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, onde a gente precisa checar se uma função satisfaz a equação proposta. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de
, substituir na equação e ver se tudo se equilibra direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função é um produto de duas partes:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, seja:
Calculando
:
Calculando
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Distribuindo o 2 na segunda parte:
Agora, subtraindo as expressões:
Passo 4
Observamos que a expressão resultante é exatamente
, que é o lado direito da equação diferencial original. Portanto, a igualdade
foi satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é solução da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.
Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).
Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula
, implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente
e não
, conforme se fez no texto.