Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas soluções de equações diferenciais lineares de primeiro grau. A primeira solução,
, resolve a equação homogênea
e a segunda,
, resolve a equação não homogênea
. Nosso papel aqui é mostrar que a soma dessas duas soluções, ou seja,
, também resolve a segunda equação
. Para isso, vamos precisar saber como somar soluções de equações diferenciais e entender o que significa uma solução ser válida para uma equação diferencial específica.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
. Nossa meta é substituir
na equação
e verificar se a igualdade se mantém.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Vamos substituir
e
na equação:
Passo 4
Distribuímos
na soma:
Reagrupando os termos:
Passo 5
Sabemos que
é solução da equação homogênea:
E
é solução da equação não homogênea:
Substituindo esses resultados na expressão anterior:
Resposta
Concluímos que
também é solução da equação
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula
, implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente
e não
, conforme se fez no texto.
Use o método da variação dos parâmetros para resolver