Seja uma solução de
e seja uma solução de
Mostrar que também é solução de (2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas soluções de equações diferenciais lineares de primeiro grau. A primeira solução, , resolve a equação homogênea e a segunda, , resolve a equação não homogênea . Nosso papel aqui é mostrar que a soma dessas duas soluções, ou seja, , também resolve a segunda equação . Para isso, vamos precisar saber como somar soluções de equações diferenciais e entender o que significa uma solução ser válida para uma equação diferencial específica.

Passo 2

Primeiro, vamos definir . Nossa meta é substituir na equação e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 3

Calculamos a derivada de :
Vamos substituir e na equação:

Passo 4

Distribuímos na soma:
Reagrupando os termos:

Passo 5

Sabemos que é solução da equação homogênea:
E é solução da equação não homogênea:
Substituindo esses resultados na expressão anterior:

Resposta

Concluímos que também é solução da equação .

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula , implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente e não , conforme se fez no texto.
Use o método da variação dos parâmetros para resolver