Seja y = y1(x) uma solução de
y' + p(x) y = 0
e seja y = y2(x) uma solução de
y' + p(x) y = q(x)
Mostrar que y = y1(x) + y2(x) também é solução de (2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas soluções de equações diferenciais lineares de primeiro grau. A primeira solução, , resolve a equação homogênea e a segunda, , resolve a equação não homogênea . Nosso papel aqui é mostrar que a soma dessas duas soluções, ou seja, , também resolve a segunda equação . Para isso, vamos precisar saber como somar soluções de equações diferenciais e entender o que significa uma solução ser válida para uma equação diferencial específica.

Passo 2

Primeiro, vamos definir . Nossa meta é substituir na equação e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 3

Calculamos a derivada de :
Vamos substituir e na equação:

Passo 4

Distribuímos na soma:
Reagrupando os termos:

Passo 5

Sabemos que é solução da equação homogênea:
E é solução da equação não homogênea:
Substituindo esses resultados na expressão anterior:

Resposta

Concluímos que também é solução da equação .

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