Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula , implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente e não , conforme se fez no texto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial exata na forma geral:
O que queremos fazer é encontrar uma função implícita que resolva essa equação. Normalmente, a gente integra , mas aqui a gente vai integrar , pra seguir o que foi pedido no exercício.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é uma equação diferencial exata? Ela é aquela onde existe uma função tal que:
Ou seja, e . Nosso objetivo é encontrar essa .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Isso significa que:
Aqui, é uma função arbitrária que pode depender só de , já que a integração foi feita em relação a .

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Assim, isolando :
Integrando em relação a , encontramos .

Resposta

Então, a solução implícita da equação diferencial exata é:
Essa é a fórmula geral para integrando inicialmente .

Exercícios relacionados

Seja uma solução de
e seja uma solução de
Mostrar que também é solução de (2).
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Use o método da variação dos parâmetros para resolver
Determine a área exata da superfície
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.