Imaginemos a equação diferencial exata
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Achar uma fórmula psi(x, y) = c, implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente psi_y = N e não psi_x = M, conforme se fez no texto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial exata na forma geral:
O que queremos fazer é encontrar uma função implícita que resolva essa equação. Normalmente, a gente integra , mas aqui a gente vai integrar , pra seguir o que foi pedido no exercício.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é uma equação diferencial exata? Ela é aquela onde existe uma função tal que:
Ou seja, e . Nosso objetivo é encontrar essa .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y. Isso significa que:
Aqui, h(x) é uma função arbitrária que pode depender só de x, já que a integração foi feita em relação a y.

Passo 4

Agora, para encontrar h(x), vamos derivar em relação a x e igualar a :
Assim, isolando :
Integrando em relação a x, encontramos h(x).

Resposta

Então, a solução implícita da equação diferencial exata é:
Essa é a fórmula geral para integrando inicialmente .

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