Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula
, implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente
e não
, conforme se fez no texto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial exata na forma geral:
O que queremos fazer é encontrar uma função implícita
que resolva essa equação. Normalmente, a gente integra
, mas aqui a gente vai integrar
, pra seguir o que foi pedido no exercício.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é uma equação diferencial exata? Ela é aquela onde existe uma função
tal que:
Ou seja,
e
. Nosso objetivo é encontrar essa
.
Passo 3
Vamos começar integrando
em relação a
. Isso significa que:
Aqui,
é uma função arbitrária que pode depender só de
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Assim, isolando
:
Integrando
em relação a
, encontramos
.
Resposta
Então, a solução implícita da equação diferencial exata é:
Essa é a fórmula geral para
integrando inicialmente
.
Exercícios relacionados
Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Use o método da variação dos parâmetros para resolver
Determine a área exata da superfície
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.