Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa parada. Então, precisamos entender como converter tudo pra esse sistema e quais limites de integração vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos também converter a função que estamos integrando para coordenadas cilíndricas:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
  • varia de a (já que o primeiro octante corresponde a esse intervalo de ).
  • varia de até o raio máximo no plano . O paraboloide intercepta o plano quando , ou seja, . Então, vai de a .
  • varia de até (pois está abaixo do paraboloide).

Passo 4

Com tudo isso, nossa integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Essa integral pode ser resolvida termo a termo. Depois de calcular, você vai obter uma expressão em termos de .

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Depois de resolver essa última integral, teremos o valor final da integral tripla.

Resposta

Após realizar todas as integrações, o valor final da integral tripla é:

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