Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule integral triplaE(x+y+z) d V, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z=4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa parada. Então, precisamos entender como converter tudo pra esse sistema e quais limites de integração vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume dV = r , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas é:
x + y + z = r cos theta + r sin theta + z
Vamos também converter a função que estamos integrando para coordenadas cilíndricas:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
  • varia de a (já que o primeiro octante corresponde a esse intervalo de ).
  • varia de até o raio máximo no plano . O paraboloide intercepta o plano quando , ou seja, . Então, vai de a .
  • varia de até (pois está abaixo do paraboloide).

Passo 4

Com tudo isso, nossa integral tripla fica assim:
integral triplaE (x + y + z) , dV = integral0^pi2 integral0^2 integral0^4 - r^2 (r cos theta + r sin theta + z) r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^4 - r^2 (r cos theta + r sin theta + z) r , dz = r^2 cos theta integral0^4 - r^2 dz + r^2 sin theta integral0^4 - r^2 dz + r integral0^4 - r^2 z , dz :
= r^2 cos theta (4 - r^2) + r^2 sin theta (4 - r^2) + r [z^22]0^4 - r^2
Calculando cada parte:
= r^2 cos theta (4 - r^2) + r^2 sin theta (4 - r^2) + r cdot (4 - r^2)^22

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^2 [ r^2 cos theta (4 - r^2) + r^2 sin theta (4 - r^2) + r (4 - r^2)^22 ] dr :
Essa integral pode ser resolvida termo a termo. Depois de calcular, você vai obter uma expressão em termos de .

Passo 7

Por fim, integramos em relação a integral0^pi2 (resu:
Depois de resolver essa última integral, teremos o valor final da integral tripla.

Resposta

Após realizar todas as integrações, o valor final da integral tripla 32 pi3 é:

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