Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule
, onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Passo 1
Beleza! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre o sólido
que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa parada. Então, precisamos entender como converter tudo pra esse sistema e quais limites de integração vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Vamos também converter a função que estamos integrando
para coordenadas cilíndricas:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
-
varia de a (já que o primeiro octante corresponde a esse intervalo de ). -
varia de até o raio máximo no plano . O paraboloide intercepta o plano quando , ou seja, . Então, vai de a . -
varia de até (pois está abaixo do paraboloide).
Passo 4
Com tudo isso, nossa integral tripla fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida termo a termo. Depois de calcular, você vai obter uma expressão em termos de
.
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Depois de resolver essa última integral, teremos o valor final da integral tripla.
Resposta
Após realizar todas as integrações, o valor final da integral tripla
é:
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Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).