Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
y' - 2y = e^(2x), y(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Assim, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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