Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Assim, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: