Esboce o gráfico de f(t), escreva f(t) em termos da função degrau unitário e calcule a transformada de Laplace de f(t).
f(t) = { 0, 0 <= t < a; k, a <= t < b, a < b; 0, t >= b }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas: desenhar o gráfico da função , reescrever usando a função degrau unitário (chamada de ) e calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o gráfico de . A função está definida por partes:
  • Para , . Ou seja, até o tempo , a função é zero.
  • Para , . Aqui, a função fica constante no valor .
  • Para , de novo. Depois de , a função volta a ser zero.
Então, o gráfico é como uma onda quadrada que fica “ligada” no valor entre e e desligada fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos escrever usando a função degrau unitário . A função degrau é zero para e um para . Com isso, podemos montar da seguinte forma:
Explicando:
  • liga a função em .
  • desliga a função em .
  • Multiplicando por , definimos a altura da onda quadrada.

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Laplace de . Sabemos que a transformada de é:
Aplicando isso à nossa função:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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