Calcule: integral duplaR y sen(x y) d A ; R=[1,2] times[0, pi4]

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar a técnica de integrais duplas, que basicamente permite integrar uma função em duas variáveis sobre uma área específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser resolvida iterando duas integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vou optar por integrar em relação a primeiro.

Passo 3

Então, a integral fica assim:
Agora, vamos focar na integral interna: .

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = y Rightarrow du = dy
A fórmula da integração por partes é dv = sen(xy) , dy Rightarrow v = -1x cos(xy) .

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Agora, vamos resolver integral y sen(xy) , dy = -yx cos(xy) + 1x integral cos(xy) , dy :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de [ -yx cos(xy) + 1x^2 sen(xy) ]0^pi4 e -pi4x cos(x cdot pi4) + 1x^2 sen(x cdot pi4) :
Substituindo 0 + 0 = 0 :
Substituindo -pi4x cos(pi x4) + 1x^2 sen(pi x4) :
Então, a integral interna simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou utilizando mais técnicas de integração, mas para simplificar, vamos calcular o valor numérico.

Passo 8

Calculando numericamente a integral:
Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, encontramos que o valor aproximado dessa integral é:

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente .

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