Calcule:
Passo 1
Beleza, temos um exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região
, que é um retângulo definido por
e
. Para isso, vamos usar a técnica de integrais duplas, que basicamente permite integrar uma função em duas variáveis sobre uma área específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser resolvida iterando duas integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vou optar por integrar em relação a
primeiro.
Passo 3
Então, a integral fica assim:
Agora, vamos focar na integral interna: .
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
A fórmula da integração por partes é
.
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Agora, vamos resolver
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de
e
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Então, a integral interna simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos substituir essa expressão na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou utilizando mais técnicas de integração, mas para simplificar, vamos calcular o valor numérico.
Passo 8
Calculando numericamente a integral:
Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, encontramos que o valor aproximado dessa integral é:
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
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Calcule:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Determine o volume do sólido
que está contido acima do cone
e abaixo da esfera
.