Calcule:

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar a técnica de integrais duplas, que basicamente permite integrar uma função em duas variáveis sobre uma área específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser resolvida iterando duas integrais simples. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vou optar por integrar em relação a primeiro.

Passo 3

Então, a integral fica assim:
Agora, vamos focar na integral interna: .

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
A fórmula da integração por partes é .

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Agora, vamos resolver :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de e :
Substituindo :
Substituindo :
Então, a integral interna simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou utilizando mais técnicas de integração, mas para simplificar, vamos calcular o valor numérico.

Passo 8

Calculando numericamente a integral:
Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, encontramos que o valor aproximado dessa integral é:

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente .

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