Calcule: integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A; onde D está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) dA, onde a região D está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados. Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e a mudança para coordenadas polares pode facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Como está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos, isso significa que x e y variam de 0 a a e a área está dentro de um quarto de círculo de raio a.

Passo 3

Para resolver essa integral, é mais fácil usar coordenadas polares, onde usamos r (a distância ao ponto) e theta (o ângulo). Nas coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta, e o elemento de área dA se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) dA = integral0^pi2 integral0^a e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, theta vai de 0 a pi2 porque estamos no primeiro quadrante, e r vai de 0 a a devido ao raio da circunferência.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^a e^-r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = -r^2, temos du = -2r , dr ou - 12 du = r , dr. Assim, a integral se torna:
- 12 integral0^-a^2 e^u , du = 12 (1 - e^-a^2)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 12 (1 - e^-a^2) dtheta = 12 (1 - e^-a^2) cdot pi2

Resposta

A integral vale pi4 (1 - e^-a^2).

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