Calcule: ; onde está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência e pelos eixos coordenados. Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e a mudança para coordenadas polares pode facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Como está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência e pelos eixos, isso significa que e variam de a e a área está dentro de um quarto de círculo de raio .

Passo 3

Para resolver essa integral, é mais fácil usar coordenadas polares, onde usamos (a distância ao ponto) e (o ângulo). Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Aqui, vai de a porque estamos no primeiro quadrante, e vai de a devido ao raio da circunferência.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo a substituição , temos ou . Assim, a integral se torna:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral vale .

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Calcule:
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Determine o volume do sólido que está contido acima do cone e abaixo da esfera .
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.