Calcule:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e a mudança para coordenadas polares pode facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Como está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência
e pelos eixos, isso significa que
e
variam de
a
e a área está dentro de um quarto de círculo de raio
.
Passo 3
Para resolver essa integral, é mais fácil usar coordenadas polares, onde usamos
(a distância ao ponto) e
(o ângulo). Nas coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Aqui,
vai de
a
porque estamos no primeiro quadrante, e
vai de
a
devido ao raio da circunferência.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Assim, a integral se torna:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.
Determine o volume do sólido
que está contido acima do cone
e abaixo da esfera
.
Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.