Em cada um dos Problemas 5 até 12, determine a solução geral da equação diferencial proposta.
8)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais com coeficientes constantes e, nesse caso, provavelmente a técnica de variação dos parâmetros para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero), temos a equação característica:
Resolvendo para
:
$$ r^2 = -4 \
r = \pm 2i $$
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
O termo não homogêneo aqui é
, que é igual a
. Esse termo não é uma função polinomial, exponencial ou trigonométrica simples, então a técnica dos coeficientes a determinar não funciona bem. Por isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros.
Passo 4
Para aplicar a variação dos parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já encontramos:
$$ y_1(t) = \cos(2t) \
y_2(t) = \sin(2t) $$
A fórmula para a solução particular é:
Onde
é o lado direito da equação original (
) e
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 5
Primeiro, calculamos o Wronskiano
:
Calculando as derivadas:
$$ y_1’(t) = -2 \sin(2t) \
y_2’(t) = 2 \cos(2t) $$
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da solução particular:
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Então,
O que simplifica para:
Passo 7
Calculando as integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Então,
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
$$ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \
= C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) - \frac{3}{2} t \cos(2t) + \frac{3}{4} \sin(2t) \ln|\sin(2t)| $$
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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e
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-
-
-
(4)
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