Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
integral x^2 ln x d x u=ln x, d v=x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, já temos as escolhas de e . Vamos precisar calcular e para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar du = 1x dx . Sabemos que , então derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar v = integral x^2 dx = x^33 integrando . Temos , então:

Passo 4

Com integral u , dv = uv - integral v , du , integral x^2 ln x , dx = ln x cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x dx , e determinados, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Simplificando a integral que ficou:
integral x^33 cdot 1x dx = integral x^23 dx = 13 integral x^2 dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 6

Agora, voltando à expressão anterior:
integral x^2 ln x , dx = x^33 ln x - x^39 + C
Podemos simplificar um pouco mais:
integral x^2 ln x , dx = x^33 ln x - x^39 + C = x^33 ( ln x - 13 ) + C

Resposta

integral x^2 ln x , dx = x^33 ln x - x^39 + C

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