Encontre a solução geral da equação dada.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante ( ) é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 4

Expressamos as raízes complexas na forma :
Portanto, as raízes são .

Passo 5

Quando temos raízes complexas , a solução geral da equa��ão diferencial é:
Substituindo e , temos:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule.
Mostre que e use isto para calcular .
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções e dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;