Encontre a solução geral da equação dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante (
) é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 4
Expressamos as raízes complexas na forma
:
Portanto, as raízes são
.
Passo 5
Quando temos raízes complexas
, a solução geral da equa��ão diferencial é:
Substituindo
e
, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule.
Mostre que
e use isto para calcular
.
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.
Em cada um dos problemas dados, verifique que as funções
e
dadas satisfazem a equação homogênea associada. Em seguida, encontre uma solução particular da equação não homogênea, utilizando o método de variação de parâmetros:
;