Em cada um dos Problemas 1 a 8:
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
2)
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
onde
. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse exercício, vamos precisar:
- Desenhar o campo de direções da equação.
- Analisar como as soluções se comportam quando
fica bem grande. - Encontrar a solução geral da equação e ver o comportamento delas quando
tende para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o campo de direções. O campo de direções nos mostra a inclinação da solução em cada ponto do plano
. Para a equação
, podemos reescrever como:
Isso nos dá a inclinação
em cada ponto
. Embora não possamos desenhar aqui, imagine setas indicando a direção que as soluções tomam em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções para valores grandes de
. Olhando para a equação reescrita:
Quando
fica muito grande,
tende a zero rapidamente porque a função exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio cresce. Então, para
, a equação se aproxima de:
Essa é uma equação diferencial simples que sugere que
cresce ou decresce lentamente conforme
aumenta.
Passo 4
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, o coeficiente de
é
e o termo forçador é
.
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
:
Então, a solução geral é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar o comportamento das soluções quando
. Observando a solução:
O termo
tende a zero quando
fica muito grande, porque
decai super rápido. Portanto, para
, a solução se comporta aproximadamente como:
Isso mostra que as soluções crescem linearmente com
para valores grandes de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
. Para
, as soluções se comportam como
, ou seja, crescem linearmente com
.