Em cada um dos Problemas 1 a 8:
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t -> infinito.
2) t y' - y = t^2 e^{-t}, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: onde . O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse exercício, vamos precisar:
  • Desenhar o campo de direções da equação.
  • Analisar como as soluções se comportam quando fica bem grande.
  • Encontrar a solução geral da equação e ver o comportamento delas quando tende para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o campo de direções. O campo de direções nos mostra a inclinação da solução em cada ponto do plano . Para a equação , podemos reescrever como:
Isso nos dá a inclinação em cada ponto . Embora não possamos desenhar aqui, imagine setas indicando a direção que as soluções tomam em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções para valores grandes de . Olhando para a equação reescrita:
Quando fica muito grande, tende a zero rapidamente porque a função exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio cresce. Então, para , a equação se aproxima de:
Essa é uma equação diferencial simples que sugere que cresce ou decresce lentamente conforme aumenta.

Passo 4

Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, o coeficiente de é e o termo forçador é .
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :
Então, a solução geral é:

Passo 5

Por fim, vamos determinar o comportamento das soluções quando . Observando a solução:
O termo tende a zero quando fica muito grande, porque decai super rápido. Portanto, para , a solução se comporta aproximadamente como:
Isso mostra que as soluções crescem linearmente com para valores grandes de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Para , as soluções se comportam como , ou seja, crescem linearmente com .

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