Em cada um dos Problemas 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
7)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e vamos usar a técnica de separação de variáveis para solucioná-la.

Passo 2

Primeiro, precisamos separar as variáveis e de lados diferentes da equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é e a integral de é . Assim, temos:

Passo 4

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 2:
Podemos reescrever a constante como (também uma constante arbitrária):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 1 a 8:
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de .
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
2)
Sabendo que é uma função bijetora:
b) Determine
A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a da quantidade no início desse intervalo. O gráfico abaixo representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

F. D. Fuchs e Cher I. Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 horas em um paciente, qual é o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 horas e 30 minutos?
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. em