Sabendo que
é uma função bijetora:
b) Determine
b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
que é bijetora. O que a questão pede é para encontrar a derivada da função inversa de
em
, ou seja, determinar
. Vamos precisar usar o conceito de derivada de função inversa e um pouquinho de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é uma função bijetora, ela tem uma inversa
. A derivada da função inversa em um ponto
pode ser encontrada usando a fórmula:
Então, para encontrar
, a gente precisa saber qual é
e depois calcular a derivada de
nesse ponto.
Passo 3
Vamos encontrar
. Isso significa encontrar o valor de
tal que
. Ou seja:
Precisamos resolver essa equação para
.
Passo 4
Tentando resolver
, vamos testar alguns valores simples:
-
Se
: Isso satisfaz a equação!
Então,
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular a derivada de
nesse ponto. A derivada de
é:
Então,
.
Passo 6
Finalmente, aplicando a fórmula da derivada da função inversa: