Sabendo que é uma função bijetora:
b) Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função que é bijetora. O que a questão pede é para encontrar a derivada da função inversa de em , ou seja, determinar . Vamos precisar usar o conceito de derivada de função inversa e um pouquinho de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é uma função bijetora, ela tem uma inversa . A derivada da função inversa em um ponto pode ser encontrada usando a fórmula:
Então, para encontrar , a gente precisa saber qual é e depois calcular a derivada de nesse ponto.

Passo 3

Vamos encontrar . Isso significa encontrar o valor de tal que . Ou seja:
Precisamos resolver essa equação para .

Passo 4

Tentando resolver , vamos testar alguns valores simples:
  • Se :
    Isso satisfaz a equação!
Então, .

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos calcular a derivada de nesse ponto. A derivada de é:
Então, .

Passo 6

Finalmente, aplicando a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

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Determine a derivada
Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo:
Em cada um dos Problemas 1 a 8:
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de .
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
2)
Em cada um dos Problemas 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
7)