Em cada um dos problemas, determine
e
para o ponto dado
, se
é uma solução do problema de valor inicial dado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E temos as condições iniciais:
O objetivo aqui é encontrar as segundas e terceiras derivadas de
no ponto
, ou seja,
e
. Para isso, vamos precisar usar a própria equação diferencial e derivar novamente para conseguir a terceira derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A gente tem a equação diferencial:
Vamos substituir
,
e
na equação:
Sabemos que e
, então:
Passo 3
Agora, para encontrar
, vamos derivar a equação diferencial original em relação a
. Assim, temos:
Simplificando:
Agora, vamos substituir
,
,
e
:
Resposta
Portanto, as derivadas no ponto
são: