Em cada um dos problemas, determine phi''(x0) e phi'''(x0) para o ponto dado x_0, se y = phi(x) é uma solução do problema de valor inicial dado.
(b) y'' + sen(x) y' + cos(x) y = 0 ; y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E temos as condições iniciais:
O objetivo aqui é encontrar as segundas e terceiras derivadas de no ponto , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar a própria equação diferencial e derivar novamente para conseguir a terceira derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A gente tem a equação diferencial:
Vamos substituir , e na equação:
Sabemos que e , então:

Passo 3

Agora, para encontrar , vamos derivar a equação diferencial original em relação a . Assim, temos:
Simplificando:
Agora, vamos substituir , , e :

Resposta

Portanto, as derivadas no ponto são:

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