Em cada um dos problemas, determine
e
para o ponto dado
, se
é uma solução do problema de valor inicial dado.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar as segundas e terceiras derivadas de
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o que a gente sabe sobre equações diferenciais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A equação diferencial dada é
. A ideia é substituir
e usar as condições iniciais para resolver para
.
Então, substituindo
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, sabemos pelas condições iniciais que
. Substituindo isso na equação:
Resolvendo para
:
Então, encontramos que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Para isso, precisamos derivar a equação diferencial original em relação a
. Vamos derivar cada termo:
Isso resulta em:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação derivada:
Isso simplifica para:
Sabemos pelas condições iniciais que
. Substituindo isso:
Então: