Em cada um dos problemas, determine phi''(x0) e phi'''(x0) para o ponto dado x_0, se y = phi(x) é uma solução do problema de valor inicial dado.
(a) y'' + x y' + y = 0 ; y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui: com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar as segundas e terceiras derivadas de no ponto . Para resolver isso, vamos usar o que a gente sabe sobre equações diferenciais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A equação diferencial dada é . A ideia é substituir e usar as condições iniciais para resolver para .
Então, substituindo :
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, sabemos pelas condições iniciais que . Substituindo isso na equação:
Resolvendo para :
Então, encontramos que .

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Para isso, precisamos derivar a equação diferencial original em relação a . Vamos derivar cada termo:
Isso resulta em:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, substituímos na equação derivada:
Isso simplifica para:
Sabemos pelas condições iniciais que . Substituindo isso:
Então:

Resposta

e

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