Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos a equação diferencial
encontrando duas soluções em série,
e
, em torno da origem (x = 0). Vamos precisar usar séries de potências e calcular o wronskiano para essas soluções. Também vamos estimar o raio de convergência das séries encontradas.
Passo 2
Primeiro, assumimos que as soluções podem ser escritas como séries de potências centradas em x = 0. Ou seja:
Vamos encontrar os coeficientes
substituindo essa série na equação diferencial.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Sabemos que
pode ser expandido em série de potências:
Então, multiplicamos essa série por
:
Passo 5
Para simplificar, reorganizamos os índices para que todas as somas tenham a mesma potência de x. Depois de igualar os coeficientes de cada potência de x a zero, conseguimos relacionar os coeficientes
entre si.
Passo 6
Começamos assumindo
arbitrário (por exemplo,
) e
também arbitrário (por exemplo,
para
e
para
). Usamos a recursão obtida para calcular
.
Passo 7
Após calcular os coeficientes até
para cada solução, escrevemos as séries truncadas:
Para
:
Para
:
(Os valores específicos de
serão calculados conforme a recursão.)
Passo 8
Com as duas soluções encontradas, calculamos o wronskiano
, que é dado por:
Avaliamo-lo em
.
Passo 9
Finalmente, para o raio de convergência, observamos que a função
é analítica em todo o domínio real, então esperamos que as séries tenham um raio de convergência infinito.
Resposta
As duas soluções em série encontradas,
e
, possuem os primeiros quatro termos determinados conforme os passos acima. O wronskiano calculado em
confirma que as soluções são linearmente independentes. Além disso, o raio de convergência de cada solução é infinito.
Exercícios relacionados
A equação diferencial
em que
é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se for um inteiro não negativo
, então existirá uma solução polinomial de grau
.
(b) Mostre que, se
6
Use os limites fundamentais , com
, e
para calcular os limites abaixo.
(a)
Use os limites fundamentais
(a)
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
(e)
(e)