Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos a equação diferencial encontrando duas soluções em série, e , em torno da origem (x = 0). Vamos precisar usar séries de potências e calcular o wronskiano para essas soluções. Também vamos estimar o raio de convergência das séries encontradas.

Passo 2

Primeiro, assumimos que as soluções podem ser escritas como séries de potências centradas em x = 0. Ou seja:
Vamos encontrar os coeficientes substituindo essa série na equação diferencial.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial:
Sabemos que pode ser expandido em série de potências:
Então, multiplicamos essa série por :

Passo 5

Para simplificar, reorganizamos os índices para que todas as somas tenham a mesma potência de x. Depois de igualar os coeficientes de cada potência de x a zero, conseguimos relacionar os coeficientes entre si.

Passo 6

Começamos assumindo arbitrário (por exemplo, ) e também arbitrário (por exemplo, para e para ). Usamos a recursão obtida para calcular .

Passo 7

Após calcular os coeficientes até para cada solução, escrevemos as séries truncadas:
Para :
Para :
(Os valores específicos de serão calculados conforme a recursão.)

Passo 8

Com as duas soluções encontradas, calculamos o wronskiano , que é dado por:
Avaliamo-lo em .

Passo 9

Finalmente, para o raio de convergência, observamos que a função é analítica em todo o domínio real, então esperamos que as séries tenham um raio de convergência infinito.

Resposta

As duas soluções em série encontradas, e , possuem os primeiros quatro termos determinados conforme os passos acima. O wronskiano calculado em confirma que as soluções são linearmente independentes. Além disso, o raio de convergência de cada solução é infinito.

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(a)
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(e)