A equação diferencial
(1 - x^2) y'' - x y' + alpha^2 y = 0
em que alpha é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se alpha for um inteiro não negativo n, então existirá uma solução polinomial de grau n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Chebyshev:
Aqui, alpha é uma constante. O que a gente precisa mostrar é que, se alpha for um número inteiro não negativo, digamos n, então existe uma solução para essa equação que é um polinômio de grau n. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) seja um polinômio de grau n. Ou seja, podemos escrever:
Aqui, são coeficientes que a gente precisa encontrar. Como y(x) é um polinômio de grau n, suas derivadas também vão ser polinômios, e vamos substituir tudo isso na equação de Chebyshev.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y(x):
Agora, substituímos y(x), e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar isso. Primeiro, distribuímos os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes por grau de x.

Passo 5

Para cada potência de x, o coeficiente deve ser zero para que a equação seja satisfeita para todo x. Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes . Por exemplo:
  • Para (termo constante):
  • Para :
E assim por diante, até o termo de .

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações, percebemos que os coeficientes para são zero, já que y(x) é um polinômio de grau n. Isso força que esteja relacionado com n de maneira que o sistema tenha uma solução não trivial.
Especificamente, para que existam soluções não nulas, deve ser igual a , ou seja, (já que alpha é inteiro não negativo).

Resposta

Portanto, mostramos que quando alpha é um número inteiro não negativo n, a Equação de Chebyshev admite uma solução que é um polinômio de grau n.

Exercícios relacionados