A equação diferencial
em que
é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se
for um inteiro não negativo
, então existirá uma solução polinomial de grau
.
(b) Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Chebyshev:
Aqui,
é uma constante. O que a gente precisa mostrar é que, se
for um número inteiro não negativo, digamos
, então existe uma solução para essa equação que é um polinômio de grau
. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e polinômios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
seja um polinômio de grau
. Ou seja, podemos escrever:
Aqui,
são coeficientes que a gente precisa encontrar. Como
é um polinômio de grau
, suas derivadas também vão ser polinômios, e vamos substituir tudo isso na equação de Chebyshev.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar isso. Primeiro, distribuímos os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes por grau de
.
Passo 5
Para cada potência de
, o coeficiente deve ser zero para que a equação seja satisfeita para todo
. Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes
. Por exemplo:
- Para
(termo constante):
- Para
:
E assim por diante, até o termo de
.
Passo 6
Resolvendo esse sistema de equações, percebemos que os coeficientes
para
são zero, já que
é um polinômio de grau
. Isso força que
esteja relacionado com
de maneira que o sistema tenha uma solução não trivial.
Especificamente, para que existam soluções não nulas,
deve ser igual a
, ou seja,
(já que
é inteiro não negativo).
Resposta
Portanto, mostramos que quando
é um número inteiro não negativo
, a Equação de Chebyshev admite uma solução que é um polinômio de grau
.
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