A equação diferencial
em que é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se for um inteiro não negativo , então existirá uma solução polinomial de grau .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Chebyshev:
Aqui, é uma constante. O que a gente precisa mostrar é que, se for um número inteiro não negativo, digamos , então existe uma solução para essa equação que é um polinômio de grau . Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução seja um polinômio de grau . Ou seja, podemos escrever:
Aqui, são coeficientes que a gente precisa encontrar. Como é um polinômio de grau , suas derivadas também vão ser polinômios, e vamos substituir tudo isso na equação de Chebyshev.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar isso. Primeiro, distribuímos os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes por grau de .

Passo 5

Para cada potência de , o coeficiente deve ser zero para que a equação seja satisfeita para todo . Isso nos dá um sistema de equações para os coeficientes . Por exemplo:
  • Para (termo constante):
  • Para :
E assim por diante, até o termo de .

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações, percebemos que os coeficientes para são zero, já que é um polinômio de grau . Isso força que esteja relacionado com de maneira que o sistema tenha uma solução não trivial.
Especificamente, para que existam soluções não nulas, deve ser igual a , ou seja, (já que é inteiro não negativo).

Resposta

Portanto, mostramos que quando é um número inteiro não negativo , a Equação de Chebyshev admite uma solução que é um polinômio de grau .

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3
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