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Use os limites fundamentais lim x 0 a^x-1x=ln a, com a>0, e lim x infty(1+1x)^x=e para calcular os limites abaixo.
(a) lim x infty(1+75 x)^x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite . Para isso, vamos usar dois limites fundamentais que aprendemos:
  1. , onde .
  2. .
Esses limites são super úteis para resolver expressões envolvendo potências e exponenciais. Vamos agora ver como aplicá-los nesse problema.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão dentro do limite se parece muito com o segundo limite fundamental que menciona o número . A expressão tende para quando vai para infinito. No nosso caso, temos uma fração diferente dentro do parêntese: em vez de .

Passo 3

Para adaptar nosso limite ao formato conhecido, vamos reescrever a expressão de forma que fique claro qual é o “a” na fórmula lim x infty(1+75 x)^x = lim x infty(1+75x)^x . No nosso caso, .
Então, podemos reescrever o limite assim:

Passo 4

Agora, aplicando o segundo limite fundamental, sabemos que:
lim x infty(1+ax)^x = e^a
Substituindo lim x infty(1+75x)^x = e^75 por , temos:

Resposta

Portanto, o limite é .

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