Calcule as seguintes integrais:
4.
4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas do seno e do cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função seno ao cubo para facilitar a substituição. Sabemos que
. Então:
Passo 3
Lembrando que
pode ser expressa como
(uma identidade trigonométrica fundamental), temos:
Substituindo isso na expressão anterior:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Rearranjando para
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
O negativo pode ser distribuído, então:
Mas precisamos ajustar os limites de integração para
. Quando
:
E quando
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, podemos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é
.