Calcule as seguintes integrais:
4. integral0^pi2 sen^3 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas do seno e do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função seno ao cubo para facilitar a substituição. Sabemos que sin^3 theta cos^2 theta = sin^2 theta cdot sin theta cos^2 theta . Então:

Passo 3

Lembrando que sin^2 theta = 1 - cos^2 theta pode ser expressa como (1 - cos^2 theta) cdot sin theta cos^2 theta (uma identidade trigonométrica fundamental), temos:
Substituindo isso na expressão anterior:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos theta
Então, a derivada de du = -sin theta , dtheta em relação a sin theta , dtheta = -du é:
Rearranjando para :

Passo 5

Substituindo integral0^pi2 (1 - u^2) cdot u^2 cdot (-du) e -integral0^pi2 (1 - u^2) u^2 , du na integral original:
u = cos 0 = 1
O negativo pode ser distribuído, então:
u = cos pi2 = 0
Mas precisamos ajustar os limites de integração para -integral1^0 (1 - u^2) u^2 , du = integral0^1 (1 - u^2) u^2 , du . Quando :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, podemos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - u^2) u^2 = u^2 - u^4
Então, a integral fica:
integral0^1 (u^2 - u^4) , du

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Então:
integral0^1 (u^2 - u^4) , du = [ u^33 - u^55 ]0^1

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração:
Para 1^33 - 1^55 = 13 - 15 = 5 - 315 = 215 :
0^33 - 0^55 = 0 - 0 = 0
Para 215 - 0 = 215 :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados