Derive. y = cos(x) / (1 - sen(x))

Passo 1

Vamos resolver o exercício de derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a regra do quociente e as derivadas das funções sen e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do quociente. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Essa regra nos ajuda a derivar funções que são frações onde o numerador e o denominador são funções diferenciáveis.

Passo 3

Identificamos as partes da nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 4

Vamos derivar :
A derivada de cosseno é menos seno.

Passo 5

Agora, derivamos :
A derivada de seno é cosseno, então a derivada de menos seno é menos cosseno.

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do quociente com as derivadas encontradas:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Aqui, distribuímos os termos e combinamos como possível.

Passo 8

Sabemos que (uma identidade trigonométrica fundamental). Então, substituímos:

Passo 9

Reorganizando a fração:
Simplificamos cancelando um do numerador e do denominador.

Resposta

A derivada de é:

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