Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos a região de integração e, depois, mudarmos a ordem de integração da integral dada. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração e como redesenhar esses limites para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral dada é:
Aqui, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de
até
. Reconhecemos que
representa a parte superior e inferior de um círculo com raio 2, centrado na origem. Mas como
vai de 0 a 2, estamos apenas considerando a metade direita desse círculo.
Passo 3
Vamos desenhar essa região. Imagine o círculo
. Como
varia de 0 a 2, estamos olhando apenas para a direita do eixo
. Para cada
nesse intervalo,
vai de
a
, formando uma espécie de “meia-roda”.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, integramos
primeiro e depois
. Para trocar, precisamos expressar
em termos de
.
A equação do círculo rearranjada para
fica:
Como
vai de 0 a 2, e
varia de -2 a 2, nossa nova integral terá
variando de -2 a 2, e para cada
,
vai de 0 até
.
Resposta
A ordem de integração trocada fica:
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Considere os vetores
e
ache:
©
©
Ache equações paramétricas da reta que passam pelo ponto
e é paralela à reta que passa pelos pontos
e
.