Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
f) integral0^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 6 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos a região de integração e, depois, mudarmos a ordem de integração da integral dada. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar os limites de integração e como redesenhar esses limites para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral dada é:
integral0^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 6x , dy , dx
Aqui, para cada valor de entre 0 e 2, varia de até . Reconhecemos que representa a parte superior e inferior de um círculo com raio 2, centrado na origem. Mas como vai de 0 a 2, estamos apenas considerando a metade direita desse círculo.

Passo 3

Vamos desenhar essa região. Imagine o círculo . Como varia de 0 a 2, estamos olhando apenas para a direita do eixo . Para cada nesse intervalo, vai de a , formando uma espécie de “meia-roda”.

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, integramos x = raiz4 - y^2 primeiro e depois . Para trocar, precisamos expressar em termos de .
A equação do círculo rearranjada para fica:
Como vai de 0 a 2, e varia de -2 a 2, nossa nova integral terá variando de -2 a 2, e para cada , vai de 0 até .

Resposta

A ordem de integração trocada fica:
integral-2^2 integral0^raiz4 - y^2 6x , dx , dy

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