Em cada um dos Problemas 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não indua o ponto singular. x^2 y'' - x y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem do tipo equidimensional, também conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar entender como abordar equações desse tipo e utilizar um método específico que envolve suposições sobre a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que estamos lidando com uma equação equidimensional porque os coeficientes das derivadas são potências de que correspondem à ordem da derivada. Ou seja, o coeficiente de é , que é onde , igual à ordem da derivada.

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar. Vamos derivar essa expressão para obter e .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Fatorando da equação:
Como não é zero para , a expressão dentro dos colchetes deve ser zero:
Simplificando:

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática:
Fatorando:
Portanto, a raiz dupla é .

Passo 8

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial equidimensional é:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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