Em cada um dos Problemas 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não indua o ponto singular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem do tipo equidimensional, também conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar entender como abordar equações desse tipo e utilizar um método específico que envolve suposições sobre a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que estamos lidando com uma equação equidimensional porque os coeficientes das derivadas são potências de
que correspondem à ordem da derivada. Ou seja, o coeficiente de
é
, que é
onde
, igual à ordem da derivada.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar. Vamos derivar essa expressão para obter
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Fatorando
da equação:
Como
não é zero para
, a expressão dentro dos colchetes deve ser zero:
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática:
Fatorando:
Portanto, a raiz dupla é
.
Passo 8
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial equidimensional é:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida.
Mostre que a função
possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que
não possui ponto de mínimo absoluto.
Considere
. Nos casos
a)
e
b)
(i) Verifique que possui mínimo absoluto em
.
(i) Verifique que
Seja
. Achar o máximo e o mínimo de
em:
e) e
.
e)