Calcule a integral indefinida.
integral sen(pi t) d t

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de sin(pi t) em relação a t. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar a função seno e também usar uma técnica chamada substituição, já que temos um múltiplo dentro do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de sin(x) em relação a x é -cos(x) + C. Mas aqui não é só sin(t), é sin(pi t). Quando temos uma constante multiplicando a variável dentro da função trigonométrica, usamos a substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = pi t. Assim, a gente precisa calcular du, que é a derivada de u em relação a t. Então, du = pi , dt, ou seja, dt = dupi.

Passo 4

Agora, substituímos na integral original usando u:
integral sin(pi t) , dt = integral sin(u) cdot dupi = 1pi integral sin(u) , du

Passo 5

A integral de sin(u) em relação a u é -cos(u) + C. Então, substituindo de volta:
1pi integral sin(u) , du = 1pi ( -cos(u) ) + C = -1pi cos(u) + C

Passo 6

Lembrando que u = pi t, substituímos de volta para a variável original:
-1pi cos(pi t) + C

Resposta

integral sin(pi t) , dt = -1pi cos(pi t) + C

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