Mostre que a função possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que não possui ponto de mínimo absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar algumas coisas sobre a função . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como pontos críticos e testes de derivadas. Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, depois verificar se esse ponto é um mínimo local e, por fim, mostrar que não há um mínimo absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Isso acontece quando ou . Mas implica . Então, temos dois casos:

Passo 7

Caso 1:
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto crítico é .
Caso 2:
Substituindo na primeira equação:
Isso não satisfaz a equação, então não há ponto crítico nesse caso.

Passo 8

Portanto, o único ponto crítico da função é .

Passo 9

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo local. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.

Passo 10

Calculando as segundas derivadas:

Passo 11

Na matriz Hessiana no ponto :

Passo 12

Calculamos o determinante da Hessiana:
E como , concluímos que é um ponto de mínimo local.

Passo 13

Por fim, para mostrar que não há um mínimo absoluto, observamos o comportamento da função para tendendo a e aumentando sem limite. Por exemplo, se fixarmos e deixarmos crescer, tende a infinito. Portanto, não há um valor mínimo absoluto que a função atinja em todo o seu domínio.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um mínimo local. Além disso, a função não possui um ponto de mínimo absoluto.

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