Mostre que a função
possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que
não possui ponto de mínimo absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar algumas coisas sobre a função
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como pontos críticos e testes de derivadas. Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função, depois verificar se esse ponto é um mínimo local e, por fim, mostrar que não há um mínimo absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Passo 6
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Isso acontece quando
ou
. Mas
implica
. Então, temos dois casos:
Passo 7
Caso 1:
Substituindo
na primeira equação:
Então, um ponto crítico é
.
Caso 2:
Substituindo
na primeira equação:
Isso não satisfaz a equação, então não há ponto crítico nesse caso.
Passo 8
Portanto, o único ponto crítico da função é
.
Passo 9
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um mínimo local. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Passo 10
Calculando as segundas derivadas:
Passo 11
Na matriz Hessiana
no ponto
:
Passo 12
Calculamos o determinante da Hessiana:
E como
, concluímos que
é um ponto de mínimo local.
Passo 13
Por fim, para mostrar que não há um mínimo absoluto, observamos o comportamento da função para
tendendo a
e
aumentando sem limite. Por exemplo, se fixarmos
e deixarmos
crescer,
tende a infinito. Portanto, não há um valor mínimo absoluto que a função atinja em todo o seu domínio.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo local. Além disso, a função não possui um ponto de mínimo absoluto.
Exercícios relacionados
Seja
e
.
b) Faça e ache os extremos de
no triângulo (fronteira e interior) de vértices
e
.
b) Faça
Calcule a integral indefinida.
Em cada um dos Problemas 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não indua o ponto singular.