Se
e
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
E sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar
, que é a derivada da função
no ponto
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde
(ou
) está misturado com
de forma que não é fácil isolar
antes de derivar.
Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que derivar algo igual a uma constante (nesse caso, 5) vai dar zero.
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar o segundo termo usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, identifique as partes:
A derivada de
é:
Vamos calcular cada parte:
-
Derivada de
: Usando a regra da cadeia: -
Derivada de
: Usando a regra da cadeia:Agora, derivamos a fração dentro:Vamos usar a regra do quociente:Se, então a derivada é . Aqui,e : Então: -
Passo 4
Agora, juntando todas as partes, a derivada da equação original fica:
Isso pode parecer complicado, mas a ideia é resolver para
.
Passo 5
Vamos agora substituir
e
na equação derivada para encontrar
.
Sabemos que:
Substituindo:
-
Calcular
: -
Calcular a fração dentro da derivada:
Agora, substituindo tudo na equação:
Calculando cada termo:
Então, a equação fica:
Simplificando:
Somando os termos com
:
Resposta
Resolvendo para
:
Então,
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
Calcule a integral tripla.
d) , onde
é a região limitada pelas superfícies
e
.
d)
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d) .
(d)
Indique os valores de máximo e mínimos absolutos de
no intervalo
.