Se
e , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
E sabemos que . Nosso objetivo é encontrar , que é a derivada da função no ponto .
Conteúdo da matéria: Vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde (ou ) está misturado com de forma que não é fácil isolar antes de derivar.
Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que derivar algo igual a uma constante (nesse caso, 5) vai dar zero.
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, identifique as partes:
A derivada de é:
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de :
    Usando a regra da cadeia:
  2. Derivada de :
    Usando a regra da cadeia:
    Agora, derivamos a fração dentro:
    Vamos usar a regra do quociente:
    Se , então a derivada é .
    Aqui, e :
    Então:

Passo 4

Agora, juntando todas as partes, a derivada da equação original fica:
Isso pode parecer complicado, mas a ideia é resolver para .

Passo 5

Vamos agora substituir e na equação derivada para encontrar .
Sabemos que:
Substituindo:
  1. Calcular :
  2. Calcular a fração dentro da derivada:
Agora, substituindo tudo na equação:
Calculando cada termo:
Então, a equação fica:
Simplificando:
Somando os termos com :

Resposta

Resolvendo para :
Então, .

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
Calcule a integral tripla.
d) , onde é a região limitada pelas superfícies e .
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d) .
Indique os valores de máximo e mínimos absolutos de
no intervalo .