Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d) integral arccos x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . A gente está lidando com cálculo de integrais, especificamente com funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher partes da nossa integral para e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos definir:
u = arccos x e dv = dx
Agora, precisamos encontrar du = ddx (arccos x) , dx = -1raiz1 - x^2 , dx e v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arccos x , dx = uv - integral v , du
= x cdot arccos x - integral x cdot ( -1raiz1 - x^2 ) dx
= x cdot arccos x + integral xraiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral w = 1 - x^2 Rightarrow dw = -2x , dx Rightarrow -12 dw = x , dx . Vamos fazer uma substituição simples:
integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral dwraizw = -12 cdot 2 raizw + C = -raiz1 - x^2 + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral arccos x , dx = x cdot arccos x + ( -raiz1 - x^2 ) + C
= x cdot arccos x - raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral arccos x , dx = x cdot arccos x - raiz1 - x^2 + C

Exercícios relacionados