Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de primeira ordem: . Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral e depois ver como ela se comporta quando tende ao infinito. Para isso, precisamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão: , onde e .
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando a parte direita:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
Para , usamos integração por partes:
Aplicando:
Para :
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Agora, isolamos :
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando tende a infinito, os termos e vão para zero. Então, o comportamento da solução é que cresce linearmente, aproximadamente como para .