Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
. Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral e depois ver como ela se comporta quando
tende ao infinito. Para isso, precisamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando a parte direita:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
-
Para
, usamos integração por partes: Aplicando: -
Para
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
tende a infinito, os termos
e
vão para zero. Então, o comportamento da solução é que
cresce linearmente, aproximadamente como
para
.