Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de primeira ordem: . Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral e depois ver como ela se comporta quando tende ao infinito. Para isso, precisamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação no formato padrão: , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando a parte direita:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
  1. Para , usamos integração por partes:
    Aplicando:
  2. Para :

Passo 7

Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Agora, isolamos :

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando tende a infinito, os termos e vão para zero. Então, o comportamento da solução é que cresce linearmente, aproximadamente como para .

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada: .
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Encontre a solução de cada PVI
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Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib: (4) .