Encontre a solução de cada PVI
© y'' + 1/4 y' + 2y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve encontrar a solução geral dessa equação usando métodos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar da equação característica e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas:

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeiro, para :
Portanto, .

Passo 7

Em seguida, derivamos para encontrar :
Como :
Aplicando :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema é:

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