Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve encontrar a solução geral dessa equação usando métodos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar da equação característica e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes .
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas:
Passo 5
Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .