Encontre a solução geral da equação diferencial dada: .

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau aqui: . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente das equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral usando o método da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. A gente substitui cada derivada por elevado ao poder correspondente. Então, para a gente coloca , para coloca , e para apenas 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Como a raiz deu negativa ( ), vamos lidar com números complexos.

Passo 4

Quando a raiz é complexa, podemos escrever . No nosso caso:
Então, .

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais.

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Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma ib: (6) .
Calcule o comprimento da curva:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada: .
Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
(a)