Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau aqui:
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente das equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral usando o método da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. A gente substitui cada derivada por
elevado ao poder correspondente. Então, para
a gente coloca
, para
coloca
, e para
apenas 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Como a raiz deu negativa (
), vamos lidar com números complexos.
Passo 4
Quando a raiz é complexa, podemos escrever
. No nosso caso:
Então,
.
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais.
Exercícios relacionados
Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma
ib: (6)
.
Calcule o comprimento da curva:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
.
Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
(a)
(a)