Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral que satisfaz a equação. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
, onde
é uma constante a ser determinada. Isso nos leva a:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
A raiz quadrada de um número negativo envolve números imaginários. Sabemos que
, onde
é a unidade imaginária. Então:
Passo 5
Com as raízes da equação característica sendo complexas
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
.
Use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma
ib: (6)
.
Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
(a)
(a)
Encontre a solução de cada PVI
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