Encontre a solução geral da equação diferencial dada: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral que satisfaz a equação. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , onde é uma constante a ser determinada. Isso nos leva a:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

A raiz quadrada de um número negativo envolve números imaginários. Sabemos que , onde é a unidade imaginária. Então:

Passo 5

Com as raízes da equação característica sendo complexas , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

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(a)
Encontre a solução de cada PVI
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