Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão de uma equação linear:
Dividindo os dois lados da equação original por
(já que
):
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Para determinar o comportamento das soluções quando
, analisamos cada termo da solução:
-
Termo
: À medida que cresce, decai para zero mais rápido que qualquer potência de . Então, . -
Termo
: Este termo cresce sem limites à medida que aumenta.
Portanto, o comportamento dominante quando
é governado pelo termo
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, as soluções tendem a crescer linearmente, já que o termo
domina.