Em cada um dos problemas encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t -> infinito.
t y' - y = t^2 e^{-t}, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão de uma equação linear:
Dividindo os dois lados da equação original por (já que ):
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Para determinar o comportamento das soluções quando , analisamos cada termo da solução:
  1. Termo : À medida que cresce, decai para zero mais rápido que qualquer potência de . Então, .
  2. Termo : Este termo cresce sem limites à medida que aumenta.
Portanto, o comportamento dominante quando é governado pelo termo .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando , as soluções tendem a crescer linearmente, já que o termo domina.

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