Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
para
, e já sabemos que uma solução é
. Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução diferente dessa que a gente já tem. Para isso, vamos usar um método chamado redução de ordem, que é super útil quando já conhecemos uma solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma solução conhecida. Quando a gente tem uma solução
, podemos procurar uma segunda solução da forma
, onde
é uma função que ainda vamos descobrir. A ideia é substituir essa expressão na equação original e resolver para
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Observamos que
se cancela, sobrando:
Simplificando mais:
Dividindo tudo por
(já que
):
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial simplificada:
Essa é uma equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Mas, como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente, podemos escolher
para simplificar, ficando:
Sem perda de generalidade, podemos usar
, então:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Assim, a segunda solução é
.
Resposta
Uma solução distinta é
.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Encontre os valores de
para os quais
no intervalo
.