Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo para , e já sabemos que uma solução é . Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução diferente dessa que a gente já tem. Para isso, vamos usar um método chamado redução de ordem, que é super útil quando já conhecemos uma solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter uma solução conhecida. Quando a gente tem uma solução , podemos procurar uma segunda solução da forma , onde é uma função que ainda vamos descobrir. A ideia é substituir essa expressão na equação original e resolver para .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Observamos que se cancela, sobrando:
Simplificando mais:
Dividindo tudo por (já que ):

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial simplificada:
Essa é uma equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes. A solução geral é da forma:
Mas, como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente, podemos escolher para simplificar, ficando:
Sem perda de generalidade, podemos usar , então:

Passo 6

Finalmente, substituímos na expressão de :
Assim, a segunda solução é .

Resposta

Uma solução distinta é .

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Determine e .
Encontre os valores de para os quais no intervalo .