Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
y^2 z e^x+y-sen(x y z)=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos encontrar as derivadas parciais de y^2 z e^x+y - sin(x y z) = 0 em relação a e para a equação
Isso envolve usar derivação implícita, que é quando a variável que queremos derivar (neste caso, ) está escondida dentro de uma equação que relaciona , e .

Passo 2

Vamos começar encontrando partialpartial x(z e^x+y) = e^x+y partial zpartial x + z e^x+y . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a partialpartial x(sin(x y z)) = cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x) , tratando y^2 ( e^x+y partial zpartial x + z e^x+y ) - cos(x y z) (y z + x y partial zpartial x) = 0 como uma constante.
Derivando em relação a :
  • é uma constante em relação a .
  • Derivamos usando a regra do produto:
Derivando em relação a :
  • Usamos a regra da cadeia:
Colocando tudo junto:

Passo 3

Agora, vamos isolar y^2 e^x+y partial zpartial x + y^2 z e^x+y - cos(x y z) y z - cos(x y z) x y partial zpartial x = 0 :
Primeiro, distribuímos ( y^2 e^x+y - x y cos(x y z) ) partial zpartial x = cos(x y z) y z - y^2 z e^x+y :
partial zpartial x = cos(x y z) y z - y^2 z e^x+y y^2 e^x+y - x y cos(x y z)
Reunimos os termos que contêm :
Finalmente, isolamos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar partialpartial y(y^2 z e^x+y) = 2 y z e^x+y + y^2 e^x+y partial zpartial y + y^2 z e^x+y . Derivamos novamente a equação original, mas agora em relação a partialpartial y(sin(x y z)) = cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y) , tratando 2 y z e^x+y + y^2 e^x+y partial zpartial y + y^2 z e^x+y - cos(x y z) (x z + x y partial zpartial y) = 0 como uma constante.
Derivando em relação a :
  • Usamos a regra do produto:
Derivando em relação a :
  • Usamos a regra da cadeia:
Colocando tudo junto:

Passo 5

Agora, vamos isolar ( y^2 e^x+y - x y cos(x y z) ) partial zpartial y = -2 y z e^x+y - y^2 z e^x+y + x z cos(x y z) :
Primeiro, reunimos os termos que contêm partial zpartial y = -2 y z e^x+y - y^2 z e^x+y + x z cos(x y z) y^2 e^x+y - x y cos(x y z) :
Finalmente, isolamos :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = cos(x y z) y z - y^2 z e^x+y y^2 e^x+y - x y cos(x y z)
e
partial zpartial y = -2 y z e^x+y - y^2 z e^x+y + x z cos(x y z) y^2 e^x+y - x y cos(x y z)

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