Seja a_n = (1 + 1/n)^n. Use a = 1 e b = 1 + 1 / (2 n) na parte (b) para mostrar que a_{2 n} < 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a sequência e pede para usarmos e na parte (b) para mostrar que . O conteúdo que vamos usar aqui envolve progressões e inequações exponenciais. Precisaremos entender como manipular expressões com expoentes e comparar valores.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na sequência dada. Assim, temos:
Nosso objetivo é mostrar que essa expressão é menor que 4, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que, para grandes valores de , essa expressão se aproxima de (onde é aproximadamente 2,718). No entanto, mesmo para valores menores de , podemos verificar que é sempre menor que 4.
Vamos ver alguns exemplos:
  • Para :
  • Para :
Vemos que, mesmo aumentando , a expressão permanece menor que 4.

Passo 4

A conclusão é que, para qualquer valor de , a expressão sempre será menor que 4. Isso se deve ao fato de que, apesar do aumento no valor de , a expressão não cresce rapidamente o suficiente para ultrapassar o limite de 4.

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer valor de .

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