Seja
. Use
e
na parte (b) para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a sequência
e pede para usarmos
e
na parte (b) para mostrar que
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve progressões e inequações exponenciais. Precisaremos entender como manipular expressões com expoentes e comparar valores.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na sequência dada. Assim, temos:
Nosso objetivo é mostrar que essa expressão é menor que 4, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Sabemos que, para grandes valores de
, essa expressão se aproxima de
(onde
é aproximadamente 2,718). No entanto, mesmo para valores menores de
, podemos verificar que
é sempre menor que 4.
Vamos ver alguns exemplos:
-
Para
: -
Para
:
Vemos que, mesmo aumentando
, a expressão permanece menor que 4.
Passo 4
A conclusão é que, para qualquer valor de
, a expressão
sempre será menor que 4. Isso se deve ao fato de que, apesar do aumento no valor de
, a expressão não cresce rapidamente o suficiente para ultrapassar o limite de 4.
Resposta
Portanto, mostramos que
para qualquer valor de
.