Em cada um dos problemas, resolva a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Essa equação está no formato . Nosso objetivo é resolver essa EDO, ou seja, encontrar a função que satisfaz a equação. Para isso, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e :
Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando :
E agora :
Como (1 ≠ 2), a equação n��o é exata.

Passo 4

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou de para tornar a equação exata. Vamos supor que o fator integrante dependa só de .
A condição para é:
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para eliminar o logaritmo:
Como estamos buscando um fator integrante, podemos escolher , então:

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Agora, a nova equação é exata. Ou seja, existe uma função tal que:

Passo 7

Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.
Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Comparando os dois lados:
Isso implica que:

Passo 8

Vamos integrar para encontrar :
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula :
Fazendo outra integração por partes para :
Então:
Voltando à expressão original:
Então:

Passo 9

Agora, temos a função :
A solução geral da EDO é dada por , onde é uma constante. Portanto:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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