Em cada um dos problemas, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Essa equação está no formato
. Nosso objetivo é resolver essa EDO, ou seja, encontrar a função
que satisfaz a equação. Para isso, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e condições de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
:
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando
:
E agora
:
Como
(1 ≠ 2), a equação n��o é exata.
Passo 4
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou de
para tornar a equação exata. Vamos supor que o fator integrante
dependa só de
.
A condição para
é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para eliminar o logaritmo:
Como estamos buscando um fator integrante, podemos escolher
, então:
Passo 6
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a nova equação é exata. Ou seja, existe uma função
tal que:
Passo 7
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Passo 8
Vamos integrar
para encontrar
:
Usando integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula
:
Fazendo outra integração por partes para
:
-
⇒ -
⇒
Então:
Voltando à expressão original:
Então:
Passo 9
Agora, temos a função
:
A solução geral da EDO é dada por
, onde
é uma constante. Portanto:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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© Calcule a área entre as curvas
e
. (resposta 72)
(b) Calcule o volume do sólido formado quando o gráfico de
, é girado ao redor do eixo
. (resposta
)