© Calcule a área entre as curvas
e
. (resposta 72)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área entre as duas curvas dadas:
e
. Isso envolve entender como essas curvas se comportam no plano e encontrar a região que está entre elas. Para fazer isso, vamos precisar saber sobre integração, que é uma ferramenta para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso significa resolver a equação
. Igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Vamos levar todos os termos para um lado da equação para simplificar:
Passo 4
Agora, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 6
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos onde
e
. Esses valores de
serão os limites de integração para calcular a área entre as curvas.
Passo 7
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença entre a curva que está à direita menos a curva que está à esquerda, em relação a
. Primeiro, identificamos qual função está à direita:
Passo 8
A área
é dada por:
Passo 9
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, calculamos a integral:
Passo 11
Avaliamos a integral definida nos limites de
a
:
Passo 12
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 13
Subtraindo:
Resposta
72
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. (resposta
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