© Calcule a área entre as curvas e . (resposta 72)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área entre as duas curvas dadas: e . Isso envolve entender como essas curvas se comportam no plano e encontrar a região que está entre elas. Para fazer isso, vamos precisar saber sobre integração, que é uma ferramenta para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso significa resolver a equação . Igualando as duas expressões para :

Passo 3

Vamos levar todos os termos para um lado da equação para simplificar:

Passo 4

Agora, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 5

Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 6

Portanto, as curvas se cruzam nos pontos onde e . Esses valores de serão os limites de integração para calcular a área entre as curvas.

Passo 7

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença entre a curva que está à direita menos a curva que está à esquerda, em relação a . Primeiro, identificamos qual função está à direita:

Passo 8

A área é dada por:

Passo 9

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, calculamos a integral:

Passo 11

Avaliamos a integral definida nos limites de a :

Passo 12

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 13

Subtraindo:

Resposta

72

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas, resolva a EDO.
Resolva as EDO
(b) Calcule o volume do sólido formado quando o gráfico de , é girado ao redor do eixo . (resposta )
(a) Calcule o comprimento do gráfico de no intervalo . (resposta )