Resolva as EDO

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a resolução de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver isso, precisaremos integrar a equação e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação dada:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada. Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por :
Sabemos que , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é , onde é a constante de integração. Então temos:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear a constante simplesmente como :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar . Temos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Primeiro, sabemos que . Substituindo na expressão de :
Agora, substituímos na expressão de :
Usamos a condição :

Resposta

A solução da EDO é:

Exercícios relacionados

Resolva o PVI
Calcule as integrais definidas abaixo.
(f)
Em cada um dos problemas, resolva a EDO.
© Calcule a área entre as curvas e . (resposta 72)