Resolva as EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a resolução de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver isso, precisaremos integrar a equação e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação dada:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
, e
é a segunda derivada. Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Sabemos que
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então temos:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear a constante
simplesmente como
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar
. Temos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Primeiro, sabemos que
. Substituindo
na expressão de
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Usamos a condição
:
Resposta
A solução da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolva o PVI
Calcule as integrais definidas abaixo.
(f)
(f)
Em cada um dos problemas, resolva a EDO.
© Calcule a área entre as curvas
e
. (resposta 72)