(b) Calcule o volume do sólido formado quando o gráfico de , é girado ao redor do eixo . (resposta )

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar o gráfico da função no intervalo em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou cascas), que é uma técnica muito útil para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método envolve imaginar o sólido como sendo composto por várias “cascas” cilíndricas infinitamente finas. A ideia é calcular o volume de cada uma dessas cascas e depois somar todos esses volumes através de uma integral.

Passo 3

A fórmula geral para o volume usando o método dos cilindros é:
Aqui:
  • é o volume do sólido.
  • e são os limites de integração, neste caso, 2 e 4.
  • é a distância do eixo de rotação (eixo neste caso).
  • é a função que está sendo girada, que é .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores específicos do nosso problema:
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estaremos calculando um intervalo definido.

Passo 6

Vamos avaliar a integral de 2 a 4:
Calculando os valores:
Subtraindo:

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado da integral por :

Resposta

O volume do sólido é .

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© Calcule a área entre as curvas e . (resposta 72)
Em cada um dos problemas, resolva a EDO.
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