(b) Calcule o volume do sólido formado quando o gráfico de
, é girado ao redor do eixo
. (resposta
)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar o gráfico da função
no intervalo
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou cascas), que é uma técnica muito útil para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o método dos cilindros. Esse método envolve imaginar o sólido como sendo composto por várias “cascas” cilíndricas infinitamente finas. A ideia é calcular o volume de cada uma dessas cascas e depois somar todos esses volumes através de uma integral.
Passo 3
A fórmula geral para o volume usando o método dos cilindros é:
Aqui:
-
é o volume do sólido. -
e são os limites de integração, neste caso, 2 e 4. -
é a distância do eixo de rotação (eixo neste caso). -
é a função que está sendo girada, que é .
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com os valores específicos do nosso problema:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar porque estaremos calculando um intervalo definido.
Passo 6
Vamos avaliar a integral de 2 a 4:
Calculando os valores:
Subtraindo:
Passo 7
Agora, multiplicamos o resultado da integral por
:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
© Calcule a área entre as curvas
e
. (resposta 72)
Em cada um dos problemas, resolva a EDO.
(a) Calcule o comprimento do gráfico de
no intervalo
. (resposta
)
(a) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo
da região delimitada por
e
. (resposta
)