Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) onde temos uma equação diferencial
com a condição inicial
. O P(t) é uma função que muda de valor dependendo de t: vale 2 quando
e vale 1 quando
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver para o intervalo
onde
. A equação fica:
Para resolver essa equação linear de primeira ordem, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral é:
Aplicando a condição inicial
:
Então, para
:
Passo 3
Agora, vamos resolver para o intervalo
onde
. A equação fica:
Usando o mesmo método do fator integrante:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral é:
Para encontrar a constante
, usamos a continuidade da solução em
. Sabemos que:
Então, aplicamos isso na solução para
:
Então, para
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo.
(f)
(f)
Considere a função
dada por
.
(a) Calcule
(a) Calcule
Resolva as EDO
Em cada um dos problemas, resolva a EDO.