Resolva o PVI
c y^prime+P(t) y=0, y(0)=1 P(t)=ll 2, & 0 <= t <= 1 1, & t>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) onde temos uma equação diferencial com a condição inicial . O P(t) é uma função que muda de valor dependendo de t: vale 2 quando e vale 1 quando . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver para o intervalo y' + 2y = 0 onde mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2 dt = e^2t . A equação fica:
e^2t y' + 2e^2t y = 0
Para resolver essa equação linear de primeira ordem, usamos o fator integrante ddt( e^2t y ) = 0 , que é dado por:
e^2t y = C
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
y(t) = Ce^-2t
Isso simplifica para:
1 = Ce^0 Rightarrow C = 1
Integrando ambos os lados:
y(t) = e^-2t
Então, a solução geral é:
Aplicando a condição inicial :
Então, para :

Passo 3

Agora, vamos resolver para o intervalo y' + y = 0 onde mu(t) = e^integral 1 dt = e^t . A equação fica:
e^t y' + e^t y = 0
Usando o mesmo método do fator integrante:
ddt( e^t y ) = 0
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^t y = K
Isso simplifica para:
y(t) = Ke^-t
Integrando ambos os lados:
y(1) = e^-2(1) = e^-2
Então, a solução geral é:
e^-2 = K e^-1 Rightarrow K = e^-1 e^-2 = e^-3
Para encontrar a constante y(t) = e^-3 e^-t = e^-(t + 3) , usamos a continuidade da solução em . Sabemos que:
Então, aplicamos isso na solução para :
Então, para :

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^-2t, & 0 <= t <= 1 e^-(t + 3), & t > 1

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