Resolva o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) onde temos uma equação diferencial com a condição inicial . O P(t) é uma função que muda de valor dependendo de t: vale 2 quando e vale 1 quando . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver para o intervalo onde . A equação fica:
Para resolver essa equação linear de primeira ordem, usamos o fator integrante , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral é:
Aplicando a condição inicial :
Então, para :

Passo 3

Agora, vamos resolver para o intervalo onde . A equação fica:
Usando o mesmo método do fator integrante:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral é:
Para encontrar a constante , usamos a continuidade da solução em . Sabemos que:
Então, aplicamos isso na solução para :
Então, para :

Resposta

A solução do PVI é:

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Calcule as integrais definidas abaixo.
(f)
Considere a função dada por .
(a) Calcule
Resolva as EDO
Em cada um dos problemas, resolva a EDO.