Em cada um dos Problemas, resolva a equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente técnicas para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar os dois lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Lembrando que é a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro:
Isso é útil porque agora podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar , aplicamos o seno em ambos os lados da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

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