Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados: t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t), y(-1) = 0, t < 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial para . Para isso, vamos usar o método dos fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Como , podemos escrever .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação à esquerda agora é a derivada do produto . Ou seja:
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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