Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem. Precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
para
. Para isso, vamos usar o método dos fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Como
, podemos escrever
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Determine as derivadas parciais da função:
Liste os cinco primeiros termos da sequência
Em cada um dos Problemas, resolva a equação diferencial dada: