Utilize o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita aqui:
O objetivo é usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta do cálculo que ajuda a determinar a convergência de séries quando os termos são funções contínuas, positivas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função associada à nossa série:
Queremos verificar se essa função é positiva, decrescente e contínua para aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Check das condições:
  1. Positiva: Para todo , é positivo e também é positivo, então .
  2. Contínua: A função é composta por polinômio e exponencial, ambas contínuas, então é contínua.
  3. Decrescente: Vamos ver se está diminuindo conforme aumenta. Calculando a derivada:
Para , é negativo, então . Portanto, é decrescente.

Passo 4

Agora que confirmamos que é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o Teste da Integral. Calculamos a seguinte integral imprópria:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mas, , então a integral fica:

Passo 6

Integrando:
Isso significa que a integral converge para , que é um número finito.

Resposta

Como a integral convergiu, pelo Teste da Integral, a série converge.

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