Utilize o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita aqui:
O objetivo é usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta do cálculo que ajuda a determinar a convergência de séries quando os termos são funções contínuas, positivas e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função associada à nossa série:
Queremos verificar se essa função é positiva, decrescente e contínua para aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Check das condições:
- Positiva: Para todo
, é positivo e também é positivo, então . - Contínua: A função é composta por polinômio e exponencial, ambas contínuas, então
é contínua. - Decrescente: Vamos ver se
está diminuindo conforme aumenta. Calculando a derivada:
Para
,
é negativo, então
. Portanto,
é decrescente.
Passo 4
Agora que confirmamos que
é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o Teste da Integral. Calculamos a seguinte integral imprópria:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mas,
, então a integral fica:
Passo 6
Integrando:
Isso significa que a integral converge para
, que é um número finito.
Resposta
Como a integral convergiu, pelo Teste da Integral, a série
converge.
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