Utilize o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty n^2 e^-n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita aqui:
sumn=1^infty n^2 e^-n^3
O objetivo é usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta do cálculo que ajuda a determinar a convergência de séries quando os termos são funções contínuas, positivas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função associada à nossa série:
f(n) = n^2 e^-n^3
Queremos verificar se essa função é positiva, decrescente e contínua para aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Check das condições:
  1. Positiva: Para todo f'(n) = 2n e^-n^3 + n^2 cdot (-3n^2) e^-n^3 = 2n e^-n^3 - 3n^4 e^-n^3 = (2n - 3n^4) e^-n^3 , é positivo e também é positivo, então .
  2. Contínua: A função é composta por polinômio e exponencial, ambas contínuas, então é contínua.
  3. Decrescente: Vamos ver se está diminuindo conforme aumenta. Calculando a derivada:
Para , é negativo, então . Portanto, é decrescente.

Passo 4

Agora que confirmamos que integral1^infty n^2 e^-n^3 , dn é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o Teste da Integral. Calculamos a seguinte integral imprópria:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = n^3 Rightarrow du = 3n^2 dn Rightarrow dn = du3n^2
Mas, integralu=1^infty u^2/3 e^-u cdot du3u^2/3 = 13 integral1^infty e^-u , du , então a integral fica:

Passo 6

Integrando:
13 integral1^infty e^-u , du = 13 [ -e^-u ]1^infty = 13 (0 - (-e^-1)) = 13 e^-1
Isso significa que a integral converge para , que é um número finito.

Resposta

Como a integral convergiu, pelo Teste da Integral, a série converge.

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