Prove que a série é convergente e na sequência calcule a soma da série com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é provar que essa série é convergente e, em seguida, calcular a soma dela com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, além de métodos para calcular a soma de séries.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência da série. Observamos que a série é alternada devido ao termo . Para séries alternadas, um bom teste de convergência é o Teste da Série Alternada. Esse teste afirma que uma série da forma converge se for uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero.
No nosso caso, temos:
Precisamos verificar três condições:
  1. Positividade: para todo .
  2. Monotonicidade (decréscimo): .
  3. Tendência a zero: .

Passo 3

1. Positividade:
Como e são sempre positivos para todo , então .
2. Monotonicidade:
Vamos comparar com :
Como , então , ou seja, a sequência é decrescente.
3. Tendência a zero:
Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Porque cresce muito mais rápido que , o que faz o limite ser zero.

Passo 4

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série é convergente.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série com precisão de quatro casas decimais. Observamos que a série é semelhante à expansão da função exponencial. Sabemos que:
Nossa série pode ser reescrita como:
Portanto:
Calculando :
Então:
Arredondando para quatro casas decimais:

Resposta

A soma da série é aproximadamente .

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Em cada um dos Problemas, resolva a equação diferencial dada:
Liste os cinco primeiros termos da sequência
Utilize o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Calcule a integral definida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Sugestão: Utilize o resultado: