Prove que a série é convergente e na sequência calcule a soma da série com precisão de quatro casas decimais.
sumn=1^infty (-1)^n3^n n!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n3^n n!
O objetivo é provar que essa série é convergente e, em seguida, calcular a soma dela com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, além de métodos para calcular a soma de séries.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência da série. Observamos que a série é alternada devido ao termo (-1)^n. Para séries alternadas, um bom teste de convergência é o Teste da Série Alternada. Esse teste afirma que uma série da forma sum (-1)^n an converge se an for uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero.
No nosso caso, temos:
an = 13^n n!
Precisamos verificar três condições:
  1. Positividade: an > 0 para todo n.
  2. Monotonicidade (decréscimo): an+1 < an.
  3. Tendência a zero: limn to infty an = 0.

Passo 3

1. Positividade:
Como 3^n e n! são sempre positivos para todo n >= 1, então an = 13^n n! > 0.
2. Monotonicidade:
Vamos comparar an+1 com an:
an+1an = 13^n+1 (n+1)!13^n n! = 13 cdot 1n+1 < 1
Como an+1an < 1, então an+1 < an, ou seja, a sequência é decrescente.
3. Tendência a zero:
Calculamos o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty 13^n n! = 0
Porque n! cresce muito mais rápido que 3^n, o que faz o limite ser zero.

Passo 4

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série é convergente.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série com precisão de quatro casas decimais. Observamos que a série é semelhante à expansão da função exponencial. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Nossa série pode ser reescrita como:
sumn=1^infty (-1)^n3^n n! = -(sumn=1^infty (-1)^n+13^n n!) = -(e^-1/3 - 1)
Portanto:
sumn=1^infty (-1)^n3^n n! = 1 - e^-1/3
Calculando e^-1/3:
e^-1/3 approx 0,7165313106
Então:
1 - 0,7165313106 = 0,2834686894
Arredondando para quatro casas decimais:
0,2835

Resposta

A soma da série é aproximadamente 0,2835.

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