Prove que a série é convergente e na sequência calcule a soma da série com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é provar que essa série é convergente e, em seguida, calcular a soma dela com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, além de métodos para calcular a soma de séries.
Passo 2
Vamos começar verificando a convergência da série. Observamos que a série é alternada devido ao termo
. Para séries alternadas, um bom teste de convergência é o Teste da Série Alternada. Esse teste afirma que uma série da forma
converge se
for uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero.
No nosso caso, temos:
Precisamos verificar três condições:
- Positividade:
para todo . - Monotonicidade (decréscimo):
. - Tendência a zero:
.
Passo 3
1. Positividade:
Como
e
são sempre positivos para todo
, então
.
2. Monotonicidade:
Vamos comparar
com
:
Como
, então
, ou seja, a sequência é decrescente.
3. Tendência a zero:
Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Porque
cresce muito mais rápido que
, o que faz o limite ser zero.
Passo 4
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série é convergente.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série com precisão de quatro casas decimais. Observamos que a série é semelhante à expansão da função exponencial. Sabemos que:
Nossa série pode ser reescrita como:
Portanto:
Calculando
:
Então:
Arredondando para quatro casas decimais:
Resposta
A soma da série é aproximadamente
.
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Utilize o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
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Sugestão: Utilize o resultado: