Em cada um dos problemas a seguir, encontre a transformada de Laplace inversa de cada função dada:
(i) F(s)=8 s^2-4 s+12s(s^2+4).

Passo 1

No exercício, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada: F(s)=8 s^2-4 s+12s(s^2+4). Estamos lidando com o conteúdo de transformadas de Laplace, uma ferramenta muito utilizada para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades e fórmulas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função F(s). É útil dividir a função em frações que a gente consiga analisar melhor. Para isso, podemos usar a decomposição em frações parciais. Vamos escrever a função como:
F(s) = 8 s^2s(s^2+4) - 4 ss(s^2+4) + 12s(s^2+4)
Agora, podemos tratar cada uma dessas frações separadamente.

Passo 3

Vamos decompor cada termo.
  1. Para o primeiro termo: 8 s^2s(s^2+4) = 8ss^2+4.
  2. O segundo termo: -4 ss(s^2+4) = -4s^2+4.
  3. O terceiro termo precisa sofrer uma decomposição também, mas vamos trabalhar com ele por partes.
Ficamos então com:
F(s) = 8 ss^2+4 - 4 1s^2+4 + 12s(s^2+4)
Agora, vamos ver as transformadas inversas de cada uma dessas funções separadamente.

Passo 4

Já sabemos que:
  • A transformada inversa de ss^2+4 é cos(2t).
  • A transformada inversa de 1s^2+4 é 12 sin(2t).
Assim, para os dois primeiros termos, teremos:
  1. Para 8 ss^2+4, a transformada inversa é 8 cos(2t).
  2. Para -4 1s^2+4, temos -4 12 sin(2t) = -2 sin(2t).
Agora, precisamos calcular a transformada inversa da última parte, 12s(s^2+4).

Passo 5

Para resolver essa última parte, podemos usar a técnica de residuais ou uma outra abordagem, mas basicamente essa parte pode ser decomposta também e utilizada a propriedade da transformada. Vamos fazer a transformada inversa e ver que ela resulta em um termo envolvendo uma constante e um passo unitário.
A transformada inversa de 12s(s^2+4) resulta em 6(1 - cos(2t)).

Resposta

Finalmente, juntando todos os termos que encontramos, temos:
L^-1F(s) = 8 cos(2t) - 2 sin(2t) + 6(1 - cos(2t))
Assim, a resposta final é:
L^-1F(s) = 6 + 2 cos(2t) - 2 sin(2t)

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