Em cada um dos problemas a seguir, encontre a transformada de Laplace inversa de cada função dada:
(i)
.
(i)
Passo 1
No exercício, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada:
. Estamos lidando com o conteúdo de transformadas de Laplace, uma ferramenta muito utilizada para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades e fórmulas dessa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. É útil dividir a função em frações que a gente consiga analisar melhor. Para isso, podemos usar a decomposição em frações parciais. Vamos escrever a função como:
Agora, podemos tratar cada uma dessas frações separadamente.
Passo 3
Vamos decompor cada termo.
- Para o primeiro termo:
. - O segundo termo:
. - O terceiro termo precisa sofrer uma decomposição também, mas vamos trabalhar com ele por partes.
Ficamos então com:
Agora, vamos ver as transformadas inversas de cada uma dessas funções separadamente.
Passo 4
Já sabemos que:
- A transformada inversa de
é . - A transformada inversa de
é .
Assim, para os dois primeiros termos, teremos:
- Para
, a transformada inversa é . - Para
, temos .
Agora, precisamos calcular a transformada inversa da última parte,
.
Passo 5
Para resolver essa última parte, podemos usar a técnica de residuais ou uma outra abordagem, mas basicamente essa parte pode ser decomposta também e utilizada a propriedade da transformada. Vamos fazer a transformada inversa e ver que ela resulta em um termo envolvendo uma constante e um passo unitário.
A transformada inversa de
resulta em
.
Resposta
Finalmente, juntando todos os termos que encontramos, temos:
Assim, a resposta final é:
Exercícios relacionados
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Determine se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente
ou divergente
.
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os
tais que
e
.