Em cada um dos problemas a seguir, encontre a transformada de Laplace inversa de cada função dada:
(i) .

Passo 1

No exercício, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada: . Estamos lidando com o conteúdo de transformadas de Laplace, uma ferramenta muito utilizada para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades e fórmulas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . É útil dividir a função em frações que a gente consiga analisar melhor. Para isso, podemos usar a decomposição em frações parciais. Vamos escrever a função como:
Agora, podemos tratar cada uma dessas frações separadamente.

Passo 3

Vamos decompor cada termo.
  1. Para o primeiro termo: .
  2. O segundo termo: .
  3. O terceiro termo precisa sofrer uma decomposição também, mas vamos trabalhar com ele por partes.
Ficamos então com:
Agora, vamos ver as transformadas inversas de cada uma dessas funções separadamente.

Passo 4

Já sabemos que:
  • A transformada inversa de é .
  • A transformada inversa de é .
Assim, para os dois primeiros termos, teremos:
  1. Para , a transformada inversa é .
  2. Para , temos .
Agora, precisamos calcular a transformada inversa da última parte, .

Passo 5

Para resolver essa última parte, podemos usar a técnica de residuais ou uma outra abordagem, mas basicamente essa parte pode ser decomposta também e utilizada a propriedade da transformada. Vamos fazer a transformada inversa e ver que ela resulta em um termo envolvendo uma constante e um passo unitário.
A transformada inversa de resulta em .

Resposta

Finalmente, juntando todos os termos que encontramos, temos:
Assim, a resposta final é:

Exercícios relacionados

Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Determine se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente ou divergente .
(a)
(b)
©
(d)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os tais que e .