(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos várias propriedades do operador gradiente, que é uma ferramenta da matemática usada em cálculo vetorial. O gradiente, denotado por , nos dá a direção e a taxa de variação máxima de uma função escalar. O que vamos fazer aqui é entender e aplicar cada uma dessas propriedades matemáticas. Para resolver, vamos precisar compreender o que cada uma dessas expressões representa.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a), que diz: . Essa é a propriedade da linearidade do gradiente. O que isso significa? Basicamente, se você tem funções multiplicadas por constantes (como e ), você pode “puxar” essas constantes para fora do gradiente sem problemas. Então, se você calcular o gradiente de , você pode calcular o gradiente de e o gradiente de separadamente e depois multiplicar pelos seus respectivos coeficientes.

Passo 3

Agora, vamos para a letra (b): . Aqui, temos a regra do produto para o gradiente. Quando você tem um produto de duas funções, o gradiente é a soma da primeira função multiplicada pelo gradiente da segunda, mais a segunda função multiplicada pelo gradiente da primeira. Então, se você precisa achar o gradiente de , você vai calculá-lo separadamente usando essa regra.

Passo 4

Na letra ©, , temos a regra do quociente. Isso significa que, ao calcular o gradiente de uma razão de duas funções, você vai ter que usar a derivada do quociente, que é um pouco mais complexa. Você pega o gradiente do numerador, subtrai o gradiente do denominador multiplicado pelo numerador, e divide tudo pelo quadrado do denominador.

Passo 5

Agora, vamos para a letra (d): . Isso é a regra da potência para gradiente. Quando você tem uma função elevada a uma potência, você pode usar essa regra para simplificar seu cálculo. Basta multiplicar pela potência e diminuir a potência em um.

Resposta

Consolidando tudo isso, temos as quatro propriedades do gradiente que nós explicamos em cada passo. Essas propriedades são super importantes em cálculo vetorial e são bastante utilizadas em diversas aplicações.

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(i) .
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Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas:
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.