(a) nabla(a u+b v)=a nabla u+b nabla v
(b) nabla(u v)=u nabla v+v nabla u
© nabla(uv)=v nabla u-u nabla vv^2
(d) nabla u^n=n u^n-1 nabla u

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos várias propriedades do operador gradiente, que é uma ferramenta da matemática usada em cálculo vetorial. O gradiente, denotado por nabla, nos dá a direção e a taxa de variação máxima de uma função escalar. O que vamos fazer aqui é entender e aplicar cada uma dessas propriedades matemáticas. Para resolver, vamos precisar compreender o que cada uma dessas expressões representa.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a), que diz: nabla(a u+b v)=a nabla u+b nabla v. Essa é a propriedade da linearidade do gradiente. O que isso significa? Basicamente, se você tem funções multiplicadas por constantes (como a e b), você pode “puxar” essas constantes para fora do gradiente sem problemas. Então, se você calcular o gradiente de a u+b v, você pode calcular o gradiente de u e o gradiente de v separadamente e depois multiplicar pelos seus respectivos coeficientes.

Passo 3

Agora, vamos para a letra (b): nabla(u v)=u nabla v+v nabla u. Aqui, temos a regra do produto para o gradiente. Quando você tem um produto de duas funções, o gradiente é a soma da primeira função multiplicada pelo gradiente da segunda, mais a segunda função multiplicada pelo gradiente da primeira. Então, se você precisa achar o gradiente de u v, você vai calculá-lo separadamente usando essa regra.

Passo 4

Na letra ©, nabla(uv)=v nabla u-u nabla vv^2, temos a regra do quociente. Isso significa que, ao calcular o gradiente de uma razão de duas funções, você vai ter que usar a derivada do quociente, que é um pouco mais complexa. Você pega o gradiente do numerador, subtrai o gradiente do denominador multiplicado pelo numerador, e divide tudo pelo quadrado do denominador.

Passo 5

Agora, vamos para a letra (d): nabla u^n=n u^n-1 nabla u. Isso é a regra da potência para gradiente. Quando você tem uma função elevada a uma potência, você pode usar essa regra para simplificar seu cálculo. Basta multiplicar pela potência e diminuir a potência em um.

Resposta

Consolidando tudo isso, temos as quatro propriedades do gradiente que nós explicamos em cada passo. Essas propriedades são super importantes em cálculo vetorial e são bastante utilizadas em diversas aplicações.

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