(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão. Temos várias propriedades do operador gradiente, que é uma ferramenta da matemática usada em cálculo vetorial. O gradiente, denotado por
, nos dá a direção e a taxa de variação máxima de uma função escalar. O que vamos fazer aqui é entender e aplicar cada uma dessas propriedades matemáticas. Para resolver, vamos precisar compreender o que cada uma dessas expressões representa.
Passo 2
Vamos começar com a letra (a), que diz:
. Essa é a propriedade da linearidade do gradiente. O que isso significa? Basicamente, se você tem funções multiplicadas por constantes (como
e
), você pode “puxar” essas constantes para fora do gradiente sem problemas. Então, se você calcular o gradiente de
, você pode calcular o gradiente de
e o gradiente de
separadamente e depois multiplicar pelos seus respectivos coeficientes.
Passo 3
Agora, vamos para a letra (b):
. Aqui, temos a regra do produto para o gradiente. Quando você tem um produto de duas funções, o gradiente é a soma da primeira função multiplicada pelo gradiente da segunda, mais a segunda função multiplicada pelo gradiente da primeira. Então, se você precisa achar o gradiente de
, você vai calculá-lo separadamente usando essa regra.
Passo 4
Na letra ©,
, temos a regra do quociente. Isso significa que, ao calcular o gradiente de uma razão de duas funções, você vai ter que usar a derivada do quociente, que é um pouco mais complexa. Você pega o gradiente do numerador, subtrai o gradiente do denominador multiplicado pelo numerador, e divide tudo pelo quadrado do denominador.
Passo 5
Agora, vamos para a letra (d):
. Isso é a regra da potência para gradiente. Quando você tem uma função elevada a uma potência, você pode usar essa regra para simplificar seu cálculo. Basta multiplicar pela potência e diminuir a potência em um.
Resposta
Consolidando tudo isso, temos as quatro propriedades do gradiente que nós explicamos em cada passo. Essas propriedades são super importantes em cálculo vetorial e são bastante utilizadas em diversas aplicações.