Determine se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente (CC) ou divergente (D).
sumn=1^infty (-2)^nn^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos analisar a série sumn=1^infty (-2)^nn^n e determinar se ela é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente (CC) ou divergente (D). Para isso, vamos usar o conceito de convergência absoluta, que acontece quando a série dos valores absolutos da série original converge. Neste caso, vamos olhar para a série sumn=1^infty | (-2)^nn^n | = sumn=1^infty 2^nn^n.

Passo 2

Agora, precisamos analisar a série sumn=1^infty 2^nn^n. Para verificar a convergência dessa série, uma boa estratégia é usar o Teste da Razão, que funciona assim:
Calculamos o limite do quociente entre dois termos consecutivos da série. Neste caso, nosso termo geral é an = 2^nn^n. Assim,
an+1 = 2^n+1(n+1)^n+1
A próxima etapa é calcular a razão:
an+1an = 2^n+1(n+1)^n+12^nn^n = 2^n+1 cdot n^n2^n cdot (n+1)^n+1
Simplificando isso, ficamos com:
= 2 cdot n^n(n+1)^n+1 = 2 cdot n^n(n+1)^n cdot (n+1) = 2n+1 ( nn+1 )^n

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de an+1an quando n tende ao infinito. Para isso, temos duas partes: 2n+1 e ( nn+1 )^n.
  1. O primeiro termo, 2n+1, tende a 0 quando n vai para o infinito.
  2. O segundo termo ( nn+1 )^n também tende a 1e, já que:
( nn+1 )^n = ( 1 - 1n+1 )^n sim e^-1 (por limites do tipo (1 - 1x)^x )
Portanto, temos:
limn to infty an+1an = 0 cdot 1e = 0
Como esse limite é menor que 1, pela regra da razão, isso significa que a série sumn=1^infty 2^nn^n converge.

Resposta

Como a série de valores absolutos converge, isso significa que a série sumn=1^infty (-2)^nn^n é absolutamente convergente (AC).

Exercícios relacionados