Determine se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente ou divergente .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos analisar a série e determinar se ela é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente (CC) ou divergente (D). Para isso, vamos usar o conceito de convergência absoluta, que acontece quando a série dos valores absolutos da série original converge. Neste caso, vamos olhar para a série .

Passo 2

Agora, precisamos analisar a série . Para verificar a convergência dessa série, uma boa estratégia é usar o Teste da Razão, que funciona assim:
Calculamos o limite do quociente entre dois termos consecutivos da série. Neste caso, nosso termo geral é . Assim,
A próxima etapa é calcular a razão:
Simplificando isso, ficamos com:

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Para isso, temos duas partes: e .
  1. O primeiro termo, , tende a 0 quando vai para o infinito.
  2. O segundo termo também tende a , já que:
Portanto, temos:
Como esse limite é menor que 1, pela regra da razão, isso significa que a série converge.

Resposta

Como a série de valores absolutos converge, isso significa que a série é absolutamente convergente (AC).

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