Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os
tais que
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Aqui temos um problema de geometria, mais especificamente, é sobre cálculo de volume de um sólido de revolução. O sólido é gerado pela rotação de uma região delimitada por
e
em torno do eixo
. Para resolver, vamos usar o método dos anéis (ou discos) na fórmula de volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como funciona o gráfico da função
. Esta função é uma curva que cresce conforme
cresce, começando na origem (0,0). Quando giramos essa região em torno do eixo
, vamos gerar um sólido.
Aqui, vamos usar a fórmula do volume em torno do eixo
:
onde
é a função que estamos girando e
representa a área da seção transversal (o círculo) em termos de
. Precisamos primeiro inverter a função para expressá-la em termos de
. Então, a função é:
Os limites de integração em
vão de 0 (quando
) até
(quando
).
Substituindo esses valores na fórmula do volume, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral. Temos:
A integral de
é dada por:
Então, no nosso caso:
Por isso, a integral definida de 0 a 2 fica assim:
Agora substituímos os limites:
Resposta
Portanto, o volume do sólido obtido é
.