Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os tais que e .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Aqui temos um problema de geometria, mais especificamente, é sobre cálculo de volume de um sólido de revolução. O sólido é gerado pela rotação de uma região delimitada por e em torno do eixo . Para resolver, vamos usar o método dos anéis (ou discos) na fórmula de volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona o gráfico da função . Esta função é uma curva que cresce conforme cresce, começando na origem (0,0). Quando giramos essa região em torno do eixo , vamos gerar um sólido.
Aqui, vamos usar a fórmula do volume em torno do eixo :
onde é a função que estamos girando e representa a área da seção transversal (o círculo) em termos de . Precisamos primeiro inverter a função para expressá-la em termos de . Então, a função é:
Os limites de integração em vão de 0 (quando ) até (quando ).
Substituindo esses valores na fórmula do volume, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral. Temos:
A integral de é dada por:
Então, no nosso caso:
Por isso, a integral definida de 0 a 2 fica assim:
Agora substituímos os limites:

Resposta

Portanto, o volume do sólido obtido é .

Exercícios relacionados

(a)
(b)
©
(d)
Em cada um dos problemas a seguir, encontre a transformada de Laplace inversa de cada função dada:
(i) .
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas:
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
Calcule . .