Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 0 <= x <= 8 e 0 <= y <= raiz[3]x.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Aqui temos um problema de geometria, mais especificamente, é sobre cálculo de volume de um sólido de revolução. O sólido é gerado pela rotação de uma região delimitada por 0 <= x <= 8 e 0 <= y <= raiz[3]x em torno do eixo y. Para resolver, vamos usar o método dos anéis (ou discos) na fórmula de volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona o gráfico da função y = raiz[3]x. Esta função é uma curva que cresce conforme x cresce, começando na origem (0,0). Quando giramos essa região em torno do eixo y, vamos gerar um sólido.
Aqui, vamos usar a fórmula do volume em torno do eixo y:
V = pi integrala^b [f(y)]^2 , dy
onde f(y) é a função que estamos girando e [f(y)]^2 representa a área da seção transversal (o círculo) em termos de y. Precisamos primeiro inverter a função para expressá-la em termos de y. Então, a função é:
y = raiz[3]x implies x = y^3
Os limites de integração em y vão de 0 (quando x=0) até y=raiz[3]8 = 2 (quando x=8).
Substituindo esses valores na fórmula do volume, temos:
V = pi integral0^2 (y^3)^2 , dy

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral. Temos:
V = pi integral0^2 y^6 , dy
A integral de y^6 é dada por:
integral y^n , dy = y^n+1n+1 + C
Então, no nosso caso:
integral y^6 , dy = y^77 + C
Por isso, a integral definida de 0 a 2 fica assim:
V = pi [ y^77 ]0^2
Agora substituímos os limites:
V = pi ( 2^77 - 0^77 ) = pi ( 1287 - 0 ) = 128pi7

Resposta

Portanto, o volume do sólido obtido é 128pi7.

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