Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial usando séries de potências ao redor de . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar expressar a solução como uma série de potências, encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes dessa série, calcular os primeiros termos e, se possível, descobrir uma fórmula geral para os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Agora, calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo e na equação diferencial :
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que ambas sejam em termos de . Vamos substituir por na primeira soma:

Passo 3

Agora, juntando as somas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero:
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes da série.

Passo 4

Vamos agora encontrar os 5 primeiros termos de cada solução.
Primeira Solução ( livre):
Começamos assumindo como um coeficiente livre.
  1. Para :
  2. Para :
  3. E assim por diante…
Os 5 primeiros termos da primeira solução são:
Segunda Solução ( livre):
Agora, assumimos como um coeficiente livre.
  1. Para :
  2. Para :
  3. E assim por diante…
Os 5 primeiros termos da segunda solução são:

Passo 5

Por fim, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução.
Primeira Solução:
Os coeficientes seguem:
Portanto, a solução geral é:
Segunda Solução:
Os coeficientes seguem:
Portanto, a solução geral é:

Resposta

As soluções da equação diferencial centradas em são:

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Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
© e constante.
De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?