Determine os valores máximos e mínimos absolutos de no conjunto onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dentro do conjunto , que é definido por , e . Para isso, vamos usar tópicos de cálculo, como derivadas parciais e análise de fronteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro do domínio . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
Igualando as derivadas a zero:
Então, os pontos críticos ocorrem quando . Mas nesse caso, , que é uma possibilidade para o mínimo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a fronteira do domínio . A fronteira é composta por três partes:
  1. Quando :
    Aqui, também é zero.
  2. Quando :
    Novamente, é zero.
  3. Quando :
    Aqui, precisamos maximizar sob a restrição .

Passo 4

Para maximizar na fronteira , podemos usar o método de substituição. Vamos resolver a restrição para uma das variáveis e substituir na função.
Vamos isolar :
Substituindo na função:
Agora, vamos derivar em relação a e encontrar onde a derivada é zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Calculando a derivada de :
Usando a regra do produto:
Igualando a zero:
Então, ou .
Resolvendо :

Passo 6

Encontramos que é um ponto crítico na fronteira. Vamos encontrar o valor correspondente de :
Então, temos o ponto . Vamos calcular nesse ponto:

Passo 7

Agora, vamos resumir os valores encontrados:
  • Dentro do domínio, o único ponto crítico é onde .
  • Na fronteira, o valor máximo encontrado é , e os demais pontos na fronteira também dão .

Resposta

O valor mínimo absoluto de em é e o valor máximo absoluto é .

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ee)
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(a) .