Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
no conjunto
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
dentro do conjunto
, que é definido por
,
e
. Para isso, vamos usar tópicos de cálculo, como derivadas parciais e análise de fronteiras.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro do domínio
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Igualando as derivadas a zero:
Então, os pontos críticos ocorrem quando
. Mas nesse caso,
, que é uma possibilidade para o mínimo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a fronteira do domínio
. A fronteira é composta por três partes:
-
Quando
: Aqui,também é zero. -
Quando
: Novamente,é zero. -
Quando
:
Aqui, precisamos maximizarsob a restrição .
Passo 4
Para maximizar
na fronteira
, podemos usar o método de substituição. Vamos resolver a restrição para uma das variáveis e substituir na função.
Vamos isolar
:
Substituindo na função:
Agora, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde a derivada é zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Usando a regra do produto:
Igualando
a zero:
Então,
ou
.
Resolvendо
:
Passo 6
Encontramos que
é um ponto crítico na fronteira. Vamos encontrar o valor correspondente de
:
Então, temos o ponto
. Vamos calcular
nesse ponto:
Passo 7
Agora, vamos resumir os valores encontrados:
- Dentro do domínio, o único ponto crítico é onde
. - Na fronteira, o valor máximo encontrado é
, e os demais pontos na fronteira também dão .
Resposta
O valor mínimo absoluto de
em
é
e o valor máximo absoluto é
.
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Determine
usando a regra da cadeia, se:
ee)
ee)
Determine as raízes das equações.
Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
(a) .
(a)